Einführung Das Programm KSTAB ermöglicht die Bemessung von ebenen oder räumlich belasteten Einfeld- oder Durchlaufträgern mit gleichbleibenden Querschnitten unter Berücksichtigung der zweiachsigen Biegung mit Normalkraft und Wölbkrafttorsion. Es können auch somit das Biege- und Biegedrillknicken erfasst werden. Dabei werden Verformungen und Schnittgrößen nach Theorie I. u. II. Ordnung für beliebige Querschnitte für Zwei und Drei-Blechquerschnitte die plastische Querschnittstragfähigkeit mit dem Teilschnittgrößenverfahren (TSV) nach Kindmann/Frickel Eigenwerte und zugehörige Eigenvektoren für das Biegeknicken und Biegedrillknicken Feder- und Schubfeldkräfte für die Bemessung von Aussteifungskonstruktionen ermittelt. Die Berechnung erfolgt auf der Grundlage der Methode der finiten Elemente. Als Randbedingungen des Systems stehen sowohl Punktlager, aussermittige Einzel- und Streckenfedern als auch aussermittige Schubfelder zur Verfügung. Belastungen können abschnittsweise als exzentrische Strecken- und Knotenlasten gewählt werden. Auch die Vorgabe von Vorverformungen wahlweise als linear veränderlich, parabelförmig oder als Sinushalbwelle ist abschnittsweise möglich. Als Querschnitte stehen I- und U-Profile über eine Datenbank, beliebige Zwei- und Dreiblechquerschnitte über die Eingabe der Blechabmessungen, sowie beliebige Querschnitte über eine allgemeine Eingabe zur Verfügung. Sämtliche Projekte können in einem beliebigem Verzeichnis abgespeichert und zur späteren Weiterverarbeitung wieder geöffnet werden.
	Allgemeines Die Berechnung erfolgt nach der Methode der finiten Elemente, wobei der Stab in bis zu 120 gleich lange Elemente unterteilt werden kann. Die erforderlichen Matrizen werden auf der Basis der virtuellen Arbeit ermittelt. Als Ansatz für die Bestimmung der Verschiebungsfunktionen werden Hermitesche Interpolationspolynome der Ordnung 2 = 4 gewählt. Je Elementrand ergeben sich 7 Freiheitsgrade: Verschiebung u in x-Richtung Verschiebung v in y-Richtung Verdrehung v' um die z-Achse Verschiebung w in z-Richtung Verdrehung w' um die y-Achse Verdrehung θ um die x-Achse Verwölbung θ' Erforderliche Anzahl an Elementen Die erforderliche Anzahl an Elementen kann nicht allgemeingültig angegeben werden, da sie von Störstellen, wie Einzellager und Einzellasten, abhängt. Sie sollte anhand der Gradiente der Biegelinie des Stabes festgelegt werden, wobei jedoch für die Stabkennzahl je Element immer ein Wert 1 gefordert wird. In der Regel können Elementlängen zwischen 50 bis 100 cm gewählt und das Ergebnis gegebenenfalls mit einer erhöhten Anzahl an Elementen überprüft werden. Theorie II. Ordnung Die Berechnung nach der Theorie II. Ordnung erfolgt in zwei Schritten. Zunächst werden die Schnittgrößen nach der Theorie I. Ordnung ermittelt, auf deren Grundlage dann die geometrische Steifigkeitsmatrix Theorie II. Ordnung aufgestellt wird. In einem zweiten Rechendurchlauf werden dann die Verformungen und Schnittgrößen nach der Theorie II. Ordnung ermittelt. Auf weitere Iterationsschritte wird verzichtet. Schnittgrößen Berechnet werden je Elementrand die Gleichgewichts- (bzgl. der unverformten Lage) und die Nachweisschnittgrößen (bzgl. der verformten Lage des Systems), mit denen die Querschnittstragfähigkeit überprüft wird. Eigenwerte und Eigenform Die Bestimmung des 1. positiven Eigenwertes ermöglicht die Berechnung von NKi und MKi für das Biegeknicken bzw. Biegedrillknicken. Anhand der Eigenform sind nach DIN 18800, 11.90, die Vorverformungen für die Berechnung nach der direkten Theorie II. Ordnung anzusetzen. Das Eigenwertproblem kann durch das folgende homogene Gleichungssystem angegeben werden:   mit: K Steifigkeitsmatrix nach Theorie I. Ordnung G geometrische Steifigkeitsmatrix v Vektor der unbekannten Verformungen ηKi Verzweigungslastfaktor Unter Verwendung des Matrizenzerlegungsverfahrens wird der kleinste positive Eigenwert ermittelt, der für die Stabilitätsprobleme des Bauwesens (Biegeknicken, Biegedrillknicken, Plattenbeulen) relevant ist. Die zugehörige Eigenform wird anschließend mit Hilfe der inversen Vektoriteration nach von Mises ermittelt. Iteration: Ausgegeben werden der erste positive Eigenwert und die zugehörige Eigenform, anhand derer direkt ersichtlich wird, ob Biegeknicken oder Biegedrillknicken für das Stabilitätsversagen des Stabes maßgebend wird.
	Annahmen und Voraussetzungen Der Stab besteht aus planmäßig geraden Elementen. Alle Querschnitte können aus ebenen Blechen zusammengesetzt werden. Die Querschnittsabmessungen der Stäbe sind klein gegenüber der Länge. Die Querschnittskontur ist starr, sie ändert sich bei Verformungen der Stabachse nicht. Bei Torsion werden offene dünnwandige Querschnitte vorausgesetzt. Die Verwölbungen der Querschnitte dürfen näherungsweise durch die Verwölbungen der Profilmittellinien beschrieben werden. Schubverzerrungen infolge Querkraft und Wölbkrafttorsion werden vernachlässigt. Für Beanspruchungen ohne Torsion gilt die Bernoulli-Hypothese vom Ebenbleiben der Querschnitte. Örtliches Beulen und Lasteinleitungen haben keinen Einfluß auf die Systemberechnung der Stabwerke. Das Werkstoffverhalten wird durch ein einachsiges Spannungs-Dehnungsdiagramm beschrieben. Der Werkstoff ist homogen und isotrop, das Hookesche Gesetz gilt abschnittsweise. Globales Koordinatensysteme (KOS): Die x-Achse verläuft in Stablängsrichtung. Verformungen im globalen KOS: zusätzlich: Verwölbung θ' Schnittgrößen im querschnittsfesten Koordinatensystem: zusätzlich: Wölbbimoment Mω Die x1–Achse zeigt in Richtung der Tangente an die verformte Stabachse Knotenlasten zusätzlich: Wölbbimoment MωL Knotenlasten werden im globalen KOS angegeben Streckenlasten: Die Streckenlasten sind im lokalen KOS vorzugeben und werden programmintern durch äquivalente Knotenlasten im globalen KOS ersetzt. Alle Belastungen gelten als richtungstreu. Dies gilt auch für Momentenbeanspruchungen MyL und MzL. Vorverformungen: Die Vorverformungen werden in Ersatzlasten umgerechnet und zum Lastvektor addiert.
	Systemeingabe und Berechnungsoptionen Alle Angaben sind in kN und cm vorzunehmen! Systemlänge: Gesamtlänge des Stabes Anzahl Elemente: Die Elementanzahl kann maximal 120 Elemente betragen ist so zu wählen, daß die Stabkennzahl je Element ist. Theorie: Es kann wahlweise nach Theorie I. oder II. Ordnung berechnet werden. Für die Schnittgrößen und Verformungen nach Theorie II. Ordnung erfolgt keine Ausgabe, wenn ηKi < 1,0 ist. Programmintern erfolgt keine Begrenzung der Verformungen. Diese sind vom Anwender sinnvoll zu überprüfen. Festigkeitswerte: Elastizitätsmodul E, Schubmodul G, Streckgrenze fy,k und Teilsicherheitsbeiwert der Widerstandsseite γM sind für den gesamten Träger konstant. Bei einer Berechnung nach Theorie II. Ordnung wird die Abminderung infolge γM für Ed = E/γM, Gd = G/γM und fy,d/γM berücksichtigt. Feder- und Schubfeldsteifigkeiten werden nicht reduziert. Für die Theorie I. Ordnung wird nur die Streckgrenze abgemindert. Eigenwert berechnen: Der Eigenwert kann nur bei Berechnungen nach Theorie II. Ordnung bestimmt werden. Es wird der 1. positive Eigenwert ηKi des Systems ermittelt, auch wenn er kleiner als 1 ist. Im Menü „Berechnungsoptionen“ kann die Anzahl der Iterationsschritte und eine Genauigkeitsschranke für die Bestimmung von ηKi festgelegt werden. Zusätzlich kann die Ausgabe der Eigenform gewählt werden. Reicht die Anzahl an Iterationsschritten nicht aus oder wird kein Eigenwert gefunden, so folgt eine Fehlermeldung vom Programm. In den meisten Fällen sind 30 – 40 Iterationsschritte bei einer Genauigkeitsschranke von 1E-3 zur Bestimmung von ηKi ausreichend. Hinweis: - Die Eigenform wird nur berechnet, wenn auch die Berechnung von ηKi gewählt wurde. - Für ηKi < 1,0 erfolgt keine Ausgabe der Schnittgrößen, Verformungen etc. Lager und Punktfedern: An jedem Knoten des Stabes sind Lager oder Einzelfedern für die 7 Freiheitsgrade möglich. Folgende Lagerbedingungen können gewählt werden: -1 fest am jeweiligen Knoten, korrespondierend zur jeweiligen Verschiebung bzw. Verdrehung. >0 Punktfeder am jeweiligen Knoten. -2 An allen Knoten des Stabes wird die jeweilige Verformung behindert, z.B. für den Biegeknicknachweis in eine bestimmte Achse. Standardlager: Zur schnellen Bearbeitung ist die Vorgabe folgender Standardlager möglich: 1 v, w, θ - Verformungen sind behindert 2 v, v', w, w', θ - Verformungen sind behindert, jedoch ohne Wölbbehinderung 3 v, v', w, w', θ, θ' - Verformungen sind behindert Behinderungen in u-Richtung sind immer separat zu wählen. Punktfedern: In KSTAB können folgende Punktfedern berücksichtigt werden: Cu, Cv', Cw, Cw' als zentrische Punktfedern Cθ und Cω als Torsions- bzw. Wölbfeder an beliebiger Stelle im Querschnitt Cv mit zcv als exzentrische Punktwegfeder, korrespondierend zur Verschiebung v Die exzentrische Einzelwegfeder Cv greift in y = yM. Die Ausmitte bzgl. des Schwerpunktes zcv ist im Eingabefeld der Streckenwegfeder cv anzugeben. Dieses zcv gilt für alle Einzel- und Streckenwegfedern Cv bzw. cv und wird programmintern auf den Schubmittelpunkt umgerechnet. Trifft die Stelle x der Lagerbedingung nicht mit einem Elementknoten überein, wird diese automatisch auf den nächsten Knoten verschoben und es erfolgt ein Hinweis vom Programm. Streckenfedern: Als Streckenfedern sind konstant über die Stablänge eine Drehbettung cθ an beliebiger Stelle im Querschnitt eine zentrische Wegfeder cw eine exzentrische Wegfeder cv mit zcv bzgl. des Schwerpunktes S und ycv = yM möglich. Für eine ausmittige Streckenwegfeder cv gelten die gleichen Bedingungen wie für die Punktfeder Cv. Schubfeldsteifigkeit S*: Es können exzentrische Schubfeldsteifigkeiten S* mit der Ausmitte zS* bzgl. des Schwerpunktes vorgegeben werden. Hierdurch kann z.B. eine gebundene Drehachse realisiert werden. Intern erfolgt der Bezug auf den Schubmittelpunkt. Querschnitte: Es stehen drei verschiedene Querschnittstypen zur Verfügung, deren Werte an das Programm übergeben werden können. Typ 1: Eingabe aller erforderlichen Querschnittswerte im Hauptachsensystem durch den Anwender. Hierdurch ist eine Berechnung der Schnittgrößen und Verformungen nach Theorie I. und II. Ordnung für beliebige Querschnitte möglich, jedoch keine Bemessung. Die Querschnittsstrecken ry, rz, rω können wie folgt ermittelt werden: Typ 2: Vorgabe der Blechabmessungen für 2- und 3-Blechquerschnitte. Aus den Blechabmessungen werden direkt die erforderlichen Querschnittswerte ermittelt. Ein Nachweis der plastischen Querschnittstragfähigkeit mit dem Teilschnittgrößenverfahren (TSV) nach Kindmann/Frickel ist möglich. Typ 3: Walzprofilbibliothek für folgende Profile: IPE, IPEo, IPEv, IPEa, HEAA, HEA, HEB, HEM, HL, HD, UAP, UPE. Der Querschnitt wird mit dem TSV [2] nachgewiesen, wobei er durch seine Blechabmessungen idealisiert wird (ohne Ausrundungsradien). Hinweis: Für den Querschnittstyp 2 kann für IT ein Korrekturfaktor ηIT zur Berücksichtigung der Ausrundungsradien bei Walzprofilen für die Schnittgrößenermittlung vorgegeben werden. Für den Nachweis der Querschnittstragfähigkeit mit dem TSV bleibt dieser jedoch unberücksichtigt. Vom Anwender ist zu überprüfen, ob die Querschnitte für die Anwendung des Nachweisverfahrens „elastisch-plastisch“ zugelassen werden können. Ein Beulnachweis wird nicht geführt. Einzellasten: Einzellasten können als Knotenlasten mit Ausmitten in y- und z-Richtung bzgl. des Schwerpunktes angegeben werden. Programmintern erfolgt gegebenenfalls eine Umrechnung auf den Schubmittelpunkt. Stimmt die Stelle x der Last nicht mit einem Elementknoten überein, wird diese automatisch auf den nächsten Knoten verschoben und das Programm gibt einen Hinweis aus. Folgende Knotenlasten stehen zur Auswahl: Fx mit yFx, zFx: Einzellast in Stablängsrichtung (als Druckkraft negativ) Fy, Fz mit yFy, zFy, yFz, zFz: Einzellast in y- bzw. z-Richtung MzL, MyL, MxL: Einzelbiegemomente um die z-, y- bzw. x-Achse MωL: Lastwölbbimoment Fx, MzL und MyL greifen im Schwerpunkt S an, Fy, Fz, MxL und MωL im Schubmittelpunkt M. Alle Einzellasten gelten als richtungstreue Belastungen im globalen KOS. Ist am Lastangriffspunkt von Fx die Wölbordinate ωF = 0, so muß vom Anwender ein Lastwölbbimoment MωL = Fx * ωF berücksichtigt werden. Gleichstreckenlasten: Alle Gleichstreckenlasten wirken im lokalen KOS und sind abschnittsweise einzugeben. Gewählt werden können: qz mit Exzentrizität yq, zq bzgl. des Schwerpunktes qy mit Exzentrizität yq, zq bzgl. des Schwerpunktes qx Streckennormalkraft im Schwerpunkt mx Streckentorsionsmoment im Schubmittelpunkt Programmintern erfolgt gegebenenfalls die Umrechnung auf den Schubmittelpunkt. Die Abschnitte der Streckenlasten dürfen sich nicht überlagern. Stimmen Abschnittsanfang oder –ende nicht mit einem Elementknoten überein, so werden sie automatisch auf den nächsten Knoten verschoben und es erfolgt ein Hinweis vom Programm. Vorverformungen: Vorverformungen können für die Berechnung nach Theorie II. Ordnung abschnittsweise als gerade gerade + Parabel gerade + Sinushalbwelle wahlweise in w-, v- oder θ-Richtung berücksichtigt werden. Der Index der Vorverformung bezieht sich auf A die Ordinate am Abschnittsanfang E die Ordinate am Abschnittsende M auf den Stich. Eine „Überlappung“ der Stababschnitte ist nicht erlaubt. Stimmen Abschnittsanfang und –ende nicht mit einem Elementknoten überein, so werden sie automatisch auf den nächsten Knoten verschoben und es erfolgt ein Hinweis vom Programm. Bettungs- und Schubfeldkräfte: Bei Vorgabe einer elastischen Bettung oder einer Schubfeldsteifigkeit ermittelt KSTAB die auf die jeweilige Aussteifungskonstruktion wirkenden Kräfte. Für die Streckenbettungen werden diese als Streckenlasten angegeben. Bei Vorgabe einer Schubfeldsteifigkeit, z.B. infolge eines Dachverbandes, wird der Verlauf der Schubfeldkraft je Knoten berechnet, so daß direkt z.B. die Beanspruchung der Druckstäbe abgelesen werden kann.